矩阵:
【矩阵的表示】
对于3行4列

  • 对于三个未知数的方程组:
    上面这两种的写法是等价的,矩阵可以理解为方程组一种更简洁的表达方式。
  • 对于三维空间中x\y\z的关系:
    一个矩阵是对一个三维空间的线性变化,正常情况下通过三个向量,可以表示对一个空间的变换,这三个向量分别为 三维空间坐标系 三个基的变化后的位置

【矩阵的乘法】

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  • 对于三个未知数的方程组:对于这个方程组,如果要进行恒等变形化简消元,有如上的简化规律,对一个方程B实行恒等变化A可以写成 A*B(对一个方程B实列恒等变化A可以写成B*A)
  • 对于三维空间中x\y\z的关系:
    对一个向量B实行行坐标变换可以写成 A*B
    [写到这里发现 3BLUE1BROWN 的视频 “线性代数的本质”对本部分进行了详细解释,相见其视频]

【矩阵的特征值】

  • 对于三维空间中x\y\z的关系:
    一个矩阵的特征向量 是进行空间变换后 方向不变的向量,其大小变化是特征值

【矩阵的秩】

  • 其中每一如果有两行\两列线性相关的时候(不满秩),代表有重合向量,也就是变换后的空间只有两个(一个)基,空间进行了降维。

【矩阵的迹】

  • 迹的和等于特征值的和

【正交矩阵】

  • 乘一个正交矩阵对空间的变换相当于将原坐标系绕轴旋转,而基数值上不产生变化

【实对称矩阵】

  • $A^{T}=A$
    实对称矩阵特征向量相互正交

【正定矩阵】

  • 考研中只和二次型有关,一定是实对称矩阵
    几何意义为变换后的空间的基都落在第一象限(为什么正交矩阵的正定一定是单位阵?)

【矩阵的相似 合同】

  • 相似
    对同一向量,在不同坐标系下的表现$P^{-1} AP$ 可以理解为 先把空间 转换到另一个坐标系(P),再进行A变换(AP),再换回原坐标系$P^{-1} AP$
    因此数值上特征值相等,但特征向量经过更换基向量一般不再相等
  • 合同
    在现阶段,合同只对实对称矩阵有意义
    $C^{T} AC=B$/正负惯性系数相等
    几何意义为”不翻面”,原坐标系下的图像经过基本变换(直角坐标系下的变换)可以得到新坐标系下的图像

【矩阵的对角化】

  • 任何一个矩阵是一个线性变化,那么这个线性变化,能否找到另一个坐标系
    ( $P^{-1} AP$),使得变化后的三个向量 恰巧相互垂直正交,形成一个直角坐标系呢?
    我们将特征向量作为新坐标系的基,就能完成对角化。
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